Obliczenia dla ciekawskich

Odbicie od szyby okiennej

\(\newcommand\ddfrac[2]{\frac{\displaystyle #1}{\displaystyle #2}}\)    Gdy światło pada na taflę szkła ma na swojej drodze dwie granice ośrodków. Na każdej z nich część światła się odbija, a część przechodzi dalej. Prowadzi to do wielokrotnych odbić wewnątrz szyby. Obrazuje to poniższy rysunek:

    Niech $I$ oznacza natężenie światła padającego, $R_n, n \in \{0,1,\dots ,\infty\}$, to kolejne odbite promienie, $T_m, m \in \{1,2,\dots ,\infty\}$, to kolejne promienie, które przeszły na drugą stronę. Jako $r$ oznaczymy współczynnik odbicia od granicy. Współczynnik transmisji $t=1-r$. Rozpiszmy promienie zaznaczone na obrazku.
\begin{aligned}
R_0&=rI\\
T_1&=(1-r)^2I\\
R_1&=r(1-r)^2I\\
T_2&=r^2(1-r)^2I\\
R_2&=r^3(1-r)^2I
\end{aligned}
    Widzimy już pewną prawidłowość. Promień $R_0$ jest wyjątkowy - on się tylko odbił. Każdy kolejny promień świetlny przeszedł dwa razy przez granicę ośrodków - wszedł lewą stroną i wyszedł prawą lub lewą - stąd człon $(1-r)^2$. Wykładnik potęgi przy $r$ odpowiada natomiast liczbie odbić od granicy ośrodków. Zapiszmy to teraz ogólnie:
\begin{equation}
R_n=r^{2(n-1)}r(1-r)^2I,n\in \{1,2,\dots ,\infty\}
\end{equation}\begin{equation}T_n=r^{2(n-1)}(1-r)^2I,n\in \{1,2,\dots ,\infty\}
\end{equation}
Aby poznać całkowite natężenie światła odbitego oraz transmitowanego musimy wysumować dwa szeregi:
\begin{equation}
R_d=rI+r(1-r)^2I\sum_{n=1}^\infty r^{2(n-1)}\label{Rd}
\end{equation}\begin{equation}T_d=(1-r)^2I\sum_{n=1}^\infty r^{2(n-1)}\label{Td}
\end{equation}
Suma w obu równaniach to suma szeregu geometrycznego o ilorazie równym $r^2$, czyli $\ddfrac{1}{1-r^2}$. Podstawiając to do równań \eqref{Rd} i \eqref{Td} otrzymujemy:
\begin{equation}
R_d=rI+r(1-r)^2I\frac{1}{1-r^2}=rI+\frac{r(1-r)^2}{(1-r)(1+r)}I=\\
=rI+\frac{r(1-r)}{1+r}I=\frac{r+r^2+r-r^2}{1+r}I=\frac{2r}{1+r}I
\end{equation}\begin{equation}T_d=(1-r)^2I\frac{1}{1-r^2}=\frac{1-r}{1+r}I
\end{equation}
Otrzymaliśmy zatem następujące współczynniki odbicia i transmisji od tafli szkła:
\begin{equation}
r_d=\frac{R_d}{I}=\frac{2r}{1+r}\label{rd}
\end{equation}\begin{equation}t_d=\frac{T_d}{I}=\frac{1-r}{1+r}\label{td}
\end{equation}
    Zauważmy teraz, że szyba okienna składa się z dwóch tafli szkła. Gdy potraktujemy taflę szkła jako granicę między ośrodkami ze współczynnikiem odbicie $r_d$ to szyba okienna redukuje się do problemu, który właśnie rozwiązaliśmy. Aby otrzymać wzór na współczynnik odbicia od szyby okiennej wystarczy podstawić wzór \eqref{rd} do \eqref{rd}:
\begin{equation}
r_{dd}=\frac{2r_d}{1+r_d}=\frac{4r}{(1+r)(1+\frac{2r}{1+r})}=\frac{4r}{1+3r}
\end{equation}\begin{equation}t_{dd}=1-r_{dd}=1-\frac{4r}{1+3r}=\frac{1-r}{1+3r}
\end{equation}
    Przypomnijmy, że dla padania prostopadłego współczynnik odbicia jest równy:
\begin{equation}
r=(\frac{n-1}{n+1})^2
\end{equation}
Dla szkła można przyjąć $n=1.5$, co oznacza, że ostatecznie otrzymujemy:
\begin{aligned}
r&=\frac{1}{25}=4\%\\
r_d&=\frac{1}{13}\approx 7,7\%\\
r_{dd}&=\frac{1}{7}\approx 14,3\%
\end{aligned}