Obliczenia dla ciekawskich

Odbicie od szyby okiennej

$\newcommand\ddfrac[2]{\frac{\displaystyle #1}{\displaystyle #2}}$    Gdy światło pada na taflę szkła ma na swojej drodze dwie granice ośrodków. Na każdej z nich część światła się odbija, a część przechodzi dalej. Prowadzi to do wielokrotnych odbić wewnątrz szyby. Obrazuje to poniższy rysunek:

    Niech $I$ oznacza natężenie światła padającego, $R_n, n \in \{0,1,\dots ,\infty\}$, to kolejne odbite promienie, $T_m, m \in \{1,2,\dots ,\infty\}$, to kolejne promienie, które przeszły na drugą stronę. Jako $r$ oznaczymy współczynnik odbicia od granicy. Współczynnik transmisji $t=1-r$. Rozpiszmy promienie zaznaczone na obrazku.
$$\begin{aligned} R_0&=rI\\ T_1&=(1-r)^2I\\ R_1&=r(1-r)^2I\\ T_2&=r^2(1-r)^2I\\ R_2&=r^3(1-r)^2I \end{aligned}$$
    Widzimy już pewną prawidłowość. Promień $R_0$ jest wyjątkowy - on się tylko odbił. Każdy kolejny promień świetlny przeszedł dwa razy przez granicę ośrodków - wszedł lewą stroną i wyszedł prawą lub lewą - stąd człon $(1-r)^2$. Wykładnik potęgi przy $r$ odpowiada natomiast liczbie odbić od granicy ośrodków. Zapiszmy to teraz ogólnie:
$$\begin{equation} R_n=r^{2(n-1)}r(1-r)^2I,n\in \{1,2,\dots ,\infty\} \end{equation}$$ $$\begin{equation}T_n=r^{2(n-1)}(1-r)^2I,n\in \{1,2,\dots ,\infty\} \end{equation}$$
Aby poznać całkowite natężenie światła odbitego oraz transmitowanego musimy wysumować dwa szeregi:
$$\begin{equation} R_d=rI+r(1-r)^2I\sum_{n=1}^\infty r^{2(n-1)}\label{Rd} \end{equation}$$ $$\begin{equation}T_d=(1-r)^2I\sum_{n=1}^\infty r^{2(n-1)}\label{Td} \end{equation}$$
Suma w obu równaniach to suma szeregu geometrycznego o ilorazie równym $r^2$, czyli $\ddfrac{1}{1-r^2}$. Podstawiając to do równań $\eqref{Rd}$ i $\eqref{Td}$ otrzymujemy:
$$\begin{equation} R_d=rI+r(1-r)^2I\frac{1}{1-r^2}=rI+\frac{r(1-r)^2}{(1-r)(1+r)}I=\\ =rI+\frac{r(1-r)}{1+r}I=\frac{r+r^2+r-r^2}{1+r}I=\frac{2r}{1+r}I \end{equation}$$ $$\begin{equation}T_d=(1-r)^2I\frac{1}{1-r^2}=\frac{1-r}{1+r}I \end{equation}$$
Otrzymaliśmy zatem następujące współczynniki odbicia i transmisji od tafli szkła:
$$\begin{equation} r_d=\frac{R_d}{I}=\frac{2r}{1+r}\label{rd} \end{equation}$$ $$\begin{equation}t_d=\frac{T_d}{I}=\frac{1-r}{1+r}\label{td} \end{equation}$$
    Zauważmy teraz, że szyba okienna składa się z dwóch tafli szkła. Gdy potraktujemy taflę szkła jako granicę między ośrodkami ze współczynnikiem odbicie $r_d$ to szyba okienna redukuje się do problemu, który właśnie rozwiązaliśmy. Aby otrzymać wzór na współczynnik odbicia od szyby okiennej wystarczy podstawić wzór $\eqref{rd}$ do $\eqref{rd}$:
$$\begin{equation} r_{dd}=\frac{2r_d}{1+r_d}=\frac{4r}{(1+r)(1+\frac{2r}{1+r})}=\frac{4r}{1+3r} \end{equation}$$ $$\begin{equation}t_{dd}=1-r_{dd}=1-\frac{4r}{1+3r}=\frac{1-r}{1+3r} \end{equation}$$
    Przypomnijmy, że dla padania prostopadłego współczynnik odbicia jest równy:
$$\begin{equation} r=(\frac{n-1}{n+1})^2 \end{equation}$$
Dla szkła można przyjąć $n=1.5$, co oznacza, że ostatecznie otrzymujemy:
$$\begin{aligned} r&=\frac{1}{25}=4\%\\ r_d&=\frac{1}{13}\approx 7,7\%\\ r_{dd}&=\frac{1}{7}\approx 14,3\% \end{aligned}$$