Jak długo spadałaby książka wrzucona do środka Ziemi

     Jakiś czas temu czytając pewien „niecodziennik satyryczno-prowokujący” natknąłem się na artykuł z ciekawostkami. Jedną z nich było stwierdzenie, że gdybyśmy wydrążyli dziurę do środka Ziemi i wrzucili tam książkę to spadałaby ona 45 minut. Coś mnie tknęło, że to chyba nie jest prawdą i postanowiłem sobie taki hipotetyczny problem rozwiązać. Jak się okazało miałem rację ;)

\(\newcommand\ddfrac[2]{\frac{\displaystyle #1}{\displaystyle #2}}\)

    Zacznijmy od tego jak wygląda zależność wartości siły grawitacji $|F_g|$ działającej od Ziemi na dowolne ciało we wszechświecie w zależności od odległości od środka Ziemi. Zakładamy, że Ziemia jest idealną kulą o promieniu $R_{\oplus}=6378,14 \mathrm{km}$ i masie $M_{\oplus}=5.9722\cdot10^{24} \mathrm{kg}$. Ponadto założymy, że w wydrążonej przez nas dziurze nie będzie powietrza. Pozwoli nam to pominąć opory powietrza. Na poniższym wykresie zobaczymy jak  wygląda wykres wartości siły grawitacji opisanej wzorem:

\begin{equation}
|Fg(r, m)|=\begin{cases} G\ddfrac{M_{\oplus}mr}{R_{\oplus}^3}\Leftrightarrow r<R_{\oplus}\\[2ex]
G\ddfrac{M_{\oplus}m}{r^2}\Leftrightarrow r\geq R_{\oplus}\end{cases},
\end{equation}

gdzie $G$ to stała grawitacji. Maksimum tej siły odpowiada tak zwanemu przyspieszeniu ziemskiemu $g$, czyli przyspieszeniu jakie posiada dowolne ciało znajdujące się na powierzchni Ziemi. Przy naszych założeniach wynosi ono $g=9,798299\:\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$.

Kliknij, aby powiększyć

    Dlaczego ta siła wygląda tak, a nie inaczej, a w szczególności czemu jest liniowa wewnątrz Ziemi wytłumaczę w oddzielnym poście. Na razie przyjmijmy, że tak jest i przejdźmy dalej. Ustalmy układ współrzędnych, w którym będziemy rozwiązywać problem. Niech będzie to układ sferyczny $(r,\theta,\phi)$ o środku w środku Ziemi. Pominiemy współrzędne kątowe, ponieważ nasz problem ma symetrię sferyczną.W tak zdefiniowanym układzie współrzędnych siła grawitacji ma postać:

\begin{equation}
Fg(r, m)=-\frac{GM_{\oplus}m}{R_{\oplus}^3}r
\end{equation}

    Minus, który pojawił się w sile wynika z tego, że jest ona skierowana do środka układu współrzędnych, czyli przeciwnie do osi $r$ układu. Na nasze ciało działa niezerowa siła, zatem skorzystamy z drugiej zasady dynamiki Newtona. Wprowadzając oznaczenie $g=\ddfrac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}^2}$ mamy:

\begin{eqnarray}
\frac{d^2r}{dt^2}m=-gm\frac{r}{R_{\oplus}}\\
\frac{d^2r}{dt^2}+\frac{g}{R_{\oplus}}r=0
\label{eq:motion}
\end{eqnarray}

    Otrzymaliśmy liniowe równanie niejednorodne o stałych współczynnikach. Skorzystajmy z metody szczęśliwego odgadnięcia i zapostulujmy rozwiązanie:

\begin{equation}
r(t)=e^{\lambda t}
\end{equation}
    Podstawiając do równania \eqref{eq:motion} otrzymujemy:
\begin{aligned}
\lambda^2e^{\lambda t} + \frac{g}{R_{\oplus}}e^{\lambda t}&=0\\
\lambda^2 + \frac{g}{R_{\oplus}}&=0\\
\lambda_{\pm}&=\pm \sqrt{\frac{g}{R_{\oplus}}}i
\end{aligned}
    Rozwiązanie równania będzie kombinacją liniową rozwiązań dla $\lambda_+$ i $\lambda_-$. Oznaczając przez $\lambda=\sqrt{\frac{g}{R_{\oplus}}}$ otrzymujemy:
\begin{equation}
r(t)=C_+e^{i\lambda t}+C_-e^{-i\lambda t}
\label{eq:sol}
\end{equation}

    Aby znaleźć wartości stałych $C_+$ i $C_-$ musimy rozpatrzeć warunki brzegowe (początkowe). Nasza książka w chwili $t=0$ znajduje się w odległości $R_{\oplus}$ od środka Ziemi i ma prędkość równą $0$. Przekłada się to na następujący układ równań:

\begin{eqnarray}\begin{cases}
R_{\oplus}=r_{\arrowvert t=0}=C_++C_-\\[2ex]
0=\ddfrac{dr}{dt}_{\arrowvert t=0}=i\lambda C_+ -i\lambda C_-
\end{cases}\end{eqnarray}
Jak łatwo zauważyć (lub rozwiązać) dostajemy:
\begin{equation}
C_+=C_-=\frac{1}{2}R_{\oplus}
\end{equation}
    Podstawiając do naszego rozwiązania \eqref{eq:sol} otrzymujemy:
\begin{equation}
r(t)=\frac{R_{\oplus}}{2}(e^{i\lambda t}+e^{-i\lambda t})=R_{\oplus}\cos(\lambda t)
\label{fin_sol}
\end{equation}

    Aby znaleźć czas po którym książka dotrze do środka Ziemi musimy rozwiązać równanie $r(t_k)=0$. Skorzystajmy z \eqref{fin_sol}:

\begin{aligned}
R_{\oplus}\cos(\lambda t_k)&=0\\
 \lambda t_k&=\frac{\pi}{2}\\
t_k&=\frac{\lambda \pi}{2}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R_{\oplus}^3}{GM_{\oplus}}}
\end{aligned}
    Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy:
\begin{equation}
t_k=1267\:\mathrm{s}=21\:\mathrm{min}\ 7\:\mathrm{s}
\end{equation}

    Jak zapowiadałem ciekawostka nie była prawdziwa :). Poniżej podaję źródła użytych wielkości fizycznych oraz kod w języku R użyty do stworzenia obrazka.

Stała grawitacji, Promień Ziemi, Masa Ziemi, Kod