Jak długo spadałaby książka wrzucona do środka Ziemi

     Jakiś czas temu czytając pewien „niecodziennik satyryczno-prowokujący” natknąłem się na artykuł z ciekawostkami. Jedną z nich było stwierdzenie, że gdybyśmy wydrążyli dziurę do środka Ziemi i wrzucili tam książkę to spadałaby ona 45 minut. Coś mnie tknęło, że to chyba nie jest prawdą i postanowiłem sobie taki hipotetyczny problem rozwiązać. Jak się okazało miałem rację ;)

$\newcommand\ddfrac[2]{\frac{\displaystyle #1}{\displaystyle #2}}$

    Zacznijmy od tego jak wygląda zależność wartości siły grawitacji $|F_g|$ działającej od Ziemi na dowolne ciało we wszechświecie w zależności od odległości od środka Ziemi. Zakładamy, że Ziemia jest idealną kulą o promieniu $R_{\oplus}=6378,14 \mathrm{km}$ i masie $M_{\oplus}=5.9722\cdot10^{24} \mathrm{kg}$. Ponadto założymy, że w wydrążonej przez nas dziurze nie będzie powietrza. Pozwoli nam to pominąć opory powietrza. Na poniższym wykresie zobaczymy jak  wygląda wykres wartości siły grawitacji opisanej wzorem:

$$\begin{equation} |Fg(r, m)|=\begin{cases} G\ddfrac{M_{\oplus}mr}{R_{\oplus}^3}\Leftrightarrow r<R_{\oplus}\\[2ex] G\ddfrac{M_{\oplus}m}{r^2}\Leftrightarrow r\geq R_{\oplus}\end{cases}, \end{equation}$$

gdzie $G$ to stała grawitacji. Maksimum tej siły odpowiada tak zwanemu przyspieszeniu ziemskiemu $g$, czyli przyspieszeniu jakie posiada dowolne ciało znajdujące się na powierzchni Ziemi. Przy naszych założeniach wynosi ono $g=9,798299\:\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$.

Kliknij, aby powiększyć

    Dlaczego ta siła wygląda tak, a nie inaczej, a w szczególności czemu jest liniowa wewnątrz Ziemi wytłumaczę w oddzielnym poście. Na razie przyjmijmy, że tak jest i przejdźmy dalej. Ustalmy układ współrzędnych, w którym będziemy rozwiązywać problem. Niech będzie to układ sferyczny $(r,\theta,\phi)$ o środku w środku Ziemi. Pominiemy współrzędne kątowe, ponieważ nasz problem ma symetrię sferyczną.W tak zdefiniowanym układzie współrzędnych siła grawitacji ma postać:

$$\begin{equation} Fg(r, m)=-\frac{GM_{\oplus}m}{R_{\oplus}^3}r \end{equation}$$

    Minus, który pojawił się w sile wynika z tego, że jest ona skierowana do środka układu współrzędnych, czyli przeciwnie do osi $r$ układu. Na nasze ciało działa niezerowa siła, zatem skorzystamy z drugiej zasady dynamiki Newtona. Wprowadzając oznaczenie $g=\ddfrac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}^2}$ mamy:

$$\begin{eqnarray} \frac{d^2r}{dt^2}m=-gm\frac{r}{R_{\oplus}}\\ \frac{d^2r}{dt^2}+\frac{g}{R_{\oplus}}r=0 \label{eq:motion} \end{eqnarray}$$

    Otrzymaliśmy liniowe równanie niejednorodne o stałych współczynnikach. Skorzystajmy z metody szczęśliwego odgadnięcia i zapostulujmy rozwiązanie:

$$\begin{equation} r(t)=e^{\lambda t} \end{equation}$$
    Podstawiając do równania $\eqref{eq:motion}$ otrzymujemy:
$$\begin{aligned} \lambda^2e^{\lambda t} + \frac{g}{R_{\oplus}}e^{\lambda t}&=0\\ \lambda^2 + \frac{g}{R_{\oplus}}&=0\\ \lambda_{\pm}&=\pm \sqrt{\frac{g}{R_{\oplus}}}i \end{aligned}$$
    Rozwiązanie równania będzie kombinacją liniową rozwiązań dla $\lambda_+$ i $\lambda_-$. Oznaczając przez $\lambda=\sqrt{\frac{g}{R_{\oplus}}}$ otrzymujemy:
$$\begin{equation} r(t)=C_+e^{i\lambda t}+C_-e^{-i\lambda t} \label{eq:sol} \end{equation}$$

    Aby znaleźć wartości stałych $C_+$ i $C_-$ musimy rozpatrzeć warunki brzegowe (początkowe). Nasza książka w chwili $t=0$ znajduje się w odległości $R_{\oplus}$ od środka Ziemi i ma prędkość równą $0$. Przekłada się to na następujący układ równań:

$$\begin{eqnarray}\begin{cases} R_{\oplus}=r_{\arrowvert t=0}=C_++C_-\\[2ex] 0=\ddfrac{dr}{dt}_{\arrowvert t=0}=i\lambda C_+ -i\lambda C_- \end{cases}\end{eqnarray}$$
Jak łatwo zauważyć (lub rozwiązać) dostajemy:
$$\begin{equation} C_+=C_-=\frac{1}{2}R_{\oplus} \end{equation}$$
    Podstawiając do naszego rozwiązania $\eqref{eq:sol}$ otrzymujemy:
$$\begin{equation} r(t)=\frac{R_{\oplus}}{2}(e^{i\lambda t}+e^{-i\lambda t})=R_{\oplus}\cos(\lambda t) \label{fin_sol} \end{equation}$$

    Aby znaleźć czas po którym książka dotrze do środka Ziemi musimy rozwiązać równanie $r(t_k)=0$. Skorzystajmy z $\eqref{fin_sol}$:

$$\begin{aligned} R_{\oplus}\cos(\lambda t_k)&=0\\  \lambda t_k&=\frac{\pi}{2}\\ t_k&=\frac{\lambda \pi}{2}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R_{\oplus}^3}{GM_{\oplus}}} \end{aligned}$$
    Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy:
$$\begin{equation} t_k=1267\:\mathrm{s}=21\:\mathrm{min}\ 7\:\mathrm{s} \end{equation}$$

    Jak zapowiadałem ciekawostka nie była prawdziwa :). Poniżej podaję źródła użytych wielkości fizycznych oraz kod w języku R użyty do stworzenia obrazka.

Stała grawitacji, Promień Ziemi, Masa Ziemi, Kod